1. Wprowadzenie

Wyznaczenie wycinkowego momentu bezwładności jest konieczne przy obliczaniu nośności przekrojów cienkościennych. Celem opracowania jest przedstawienie metody obliczania wycinkowego momentu bezwładności dla przekrojów cienkościennych otwartych.

Założenia

Przekrój cienkościenny składa się wyłącznie z odcinków linii i fragmentów otwartych krzywych. Przekrój jest opisywany za pomocą linii środkowej. Linia środkowa nie ogranicza powierzchni.

a)

b)

Rys. 1. Przekrój otwarty cienkościenny

Rozkład naprężeń tnących w przekroju otwartym i zamkniętym jest inny, co przedstawia rys. 2.

a)

b)

Rys. 2. Rozkład naprężeń tnących: a) przekrój zamknięty, b) przekrój otwarty

Dla płaskiej figury przybliżonej wielokątem.

a)

b)

Rys. 3. Płaski przekrój przybliżony wielokątem: a) pełny, b) z wycięciem

Pole powierzchni wynosi:

Momenty statyczne wynoszą:

Wtedy współrzędne środka ciężkości S można obliczyć z zależności:

Rys. 4. Fragment przekroju z przyporządkowanym układem współrzędnych

Momenty bezwładności dla odcinka o stałej szerokości h wynoszą:

Współrzędna wycinkowa:

Rys. 5. Współrzędna wycinkowa ω

Dobór układu współrzędnych XOY|S : osie x i y układu współrzędnych przechodzą przez główne środkowe {centralne?} osie bezwładności przekroju. Początek układu współrzędnych zaczepiono w punkcie S(0,0) . Położenie bieguna głównego (środka ścinania) A wyznacza się z następujących zależności:

gdzie:

Wycinkowy moment statyczny części przekroju zależny od współrzędnej s:

I_y, I_z - główne środkowe momenty bezwładności przekroju;

y_B, z_B - współrzędne dowolnie wybranego bieguna B wyrażone względem układu XOY|S ;

ω_B - współrzędna wycinkowa związana z biegunem B

dA = h ds ‑ dla stałej szerokości przekroju.

dA = hR dφ

 

Wycinkowy moment statyczny części przekroju zależny od współrzędnej s:

Wycinkowy moment bezwładności:

2. Przykłady obliczeniowe

Przykład 2‎.1

Dany jest przekrój w kształcie rozciętego pierścienia o promieniu R , grubość pierścienia jest stała i wynosi h. Sposób obliczania wycinkowych momentów bezwładności.

Rozwiązanie.

W punkcie o współrzędnych (0,0) przyjęto pomocniczy biegun S. Całkowanie rozpoczyna się od punktu początkowego 1. Dla dowolnego konturu 1-1' określono pomocniczą współrzędną wycinkową:

przy czym 0≤φ≤2π.

Współrzędne punktu 1' wynoszą:

Moment bezwładności przekroju względem osi symetrii przekroju:

Rys. 6. Pierścień i model obliczeniowy

Współrzędna bieguna głównego Z_A=0, z uwagi na symetrię przekroju. Natomiast współrzędna bieguna głównego y_A (środka ścinania) wynosi:

Rys. 7. Wyznaczenie bieguna i współrzędnej wycinkowej

Definiujemy główną współrzędną wycinkową:

przy czym:

‑ wartość współrzędnej wycinkowej nieznana w punkcie 1,

‑ współrzędna wycinkowa. Podwojone pole zakreślone przez wektor od bieguna A do krzywej.

 

Ostatecznie:

Wyznaczamy wartość początkową z warunku:

Czyli:

Po uproszczeniach:

Wartość głównej współrzędnej wycinkowej:

Miejsca zerowe:

Statyczny moment wycinkowy części przekroju:

Wycinkowy moment bezwładności przekroju:

Funkcja pierwotna:

Wartość momentu wycinkowego wynosi:

Przykład 2.2

Dany jest ceownik, grubość półek h₁, grubość środnika h₂=1,5 h₁ . Wymiary jak na rysunku (b , H=2b ). Wyznaczyć współrzędną ω wycinkową i momenty wycinkowe: Sω (s), Iω.

Rys. 8. Ceownik i kontur zastępczy

Wyznaczenie środka ciężkości

Wprowadzamy układ współrzędnych ηζ w celu wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości S .

Wprowadzamy układ współrzędnych Y0Z zaczepiony w środku ciężkości S. Jego osie są jednocześnie głównymi centralnymi osiami przekroju.

Rys. 9. Kontur oraz wykresy: współrzędnej y , pomocniczej współrzędnej wycinkowej ω_B,
głównej współrzędnej wycinkowej ω_A.

Wyznaczenie powierzchniowych momentów bezwładności:

Współrzędne środka ścinania:

Przy czym całkę we wzorze (38) obliczono w sposób graficzny (metodą Wereszczagina):

Wyznaczenie głównej współrzędnej wycinkowej (względem bieguna A ). Współrzędna ta ma przebieg liniowy. Ze względu na symetrię konturu ω_A,1=0 . Dla punktów 1, 2 i 3 przyjmie ona wartości:

Sposób wyznaczenia wartości współrzędnych wycinkowych przedstawia rys. 10.

Rys. 10. Współrzędne wycinkowe dla punktów 2 i 3

Dla obliczenia wycinkowych momentów statycznych wprowadzono dodatkowe współrzędne liniowe s₁ i s₂ :

Wtedy:

Statyczny moment wycinkowy części przekroju:

Wycinkowy moment bezwładności przekroju wyznaczono metodą graficzną:

Po przekształceniach:

Przykład 2.3

Wysokość H=100mm, długość półki b=60mm, szerokość h=10mm. Wyznaczyć współrzędną ω wycinkową i momenty wycinkowe: Sω (s), Iω.

Dla przekroju dobrano kontur zastępczy S. Środek ciężkości znajduje się w połowie środnika. Zaczepiono w nim układ współrzędnych ηζ .

Rys. 11. Przekrój i jego kontur

Momenty bezwładności konturu wynoszą:

Momenty bezwładności przekroju wynoszą:

Rys. 12. Przekrój po obrocie i wykres współrzędnej y

Przykład 2.4

Dwuteownik 127x76 wraz z wymiarami przedstawiono na rys. 13. Wymiaru konturu zastępczego wynoszą: wysokość środnika H=119,4mm, grubość półki h₂=4,2 mm, długość półki b=76,2 mm, grubość półki h₁=7,6mm . Wyznaczyć współrzędną ω wycinkową i momenty wycinkowe: Sω (s), Iω.

Środek ciężkości S znajduje się w połowie środnika. Zaczepiono w nim układ współrzędnych ηζ .

Rys. 13. Dwuteownik 127x76 i jego kontur obliczeniowy

Osie te stanowią jednocześnie główne i centralne osie bezwładności konturu. Ze względu na symetrię przekroju:

- środek ciężkości S jest jednocześnie biegunem głównej współrzędnej wycinkowej A,

- wartość głównej współrzędnej wycinkowej dla bieguna wynosi ω_A =0.

Można obliczyć wartość wycinkowego momentu bezwładności dla teownika stosując metodę Wereszczagina:

Rys. 14. Wykresy współrzędnej y i współrzędnej wycinkowej ω_B

Po podstawieniu danych liczbowych:

Rys. 15. Dwuteownik 152x89 i jego kontur obliczeniowy

Natomiast dla dwuteownika 152x89, wymiary konturu wynoszą H=144,7 mm , h₂=4,6mm , b=88,9 , h₁=7,7mm .